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XM 與 Deriv 交易商比較

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动态规划(Dynamic Programming)与贪心算法(Greedy Algorithms)

wangxiaojun911 于 2009-10-18 13:46:00 发布 6330 收藏

动态规划

例如,动态规划可以运用在矩阵相乘上。在矩阵连乘的时候,在中间增加括号是不影响最后结果的。也就是说 A * B * C = A * ( B * C )。假设A、B、C的维数为10 X 100, XM 與 Deriv 交易商比較 100 X 5 和5 X 50,那么两种方法的运算次数为7500次和75000次,相差10倍!因此我们可以使用动态规划来确定一个最优次序以达到减小运算量的目的。而为了确定次序而消耗的时间对比做矩阵乘法来说往往是很小的。
现在我们把矩阵连乘问题分解。假设m[i,j]是计算矩阵A[i..j]所需的标量乘法运算次数的最小值,那么计算全部矩阵的最小代价为m[i,n]。再假设每个矩阵Ai是P(i-1) XM 與 Deriv 交易商比較 X Pi的,那么有:
m[i,j] = min< m[i,k] + m[k+1,j] + P(i-1) * Pk * Pj >
m[i,j] = 0 XM 與 Deriv 交易商比較 when i = j
但是我们不知道k的值,只好把k从i到j-1进行遍历,然后取最小的m[i,j]。这样,我们就得到了子问题的最优解。但是,这种算法是指数时间的,它的效率与蛮力破解差不多。为了提高速度,我们建立两个表格m和s。其中m记录每一个m[i,j]的值。s则记录计算m[i,j]时取得最有代价处k的值。为了更加直观的分析,我们常常在纸上画出这两张表格。
在计算m表格的时候使用自底向上的推进方式。比如,要计算m[2,5]需要使用
m[2,2], m[3,5]
m[2,3], m[4,5]
m[2,4], m[5,5]
这三组值。由于使用之前已经计算好的值,所以不必重复计算了,效率可以提升到O(n^2)。
我们在建立m表格的同时也建立了s表格。通过s表格,我们就可以得到如何分解矩阵连乘的详细信息。

动态规划的另一个应用是在搜索领域。给定两个序列X = < x1,x2. xm >和Y = < y1,y2. yn >,如何找到其最大长度的公共子序列?(比如ABC和ACD的公共子序列是AC)这个问题叫最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)问题。如果使用蛮力破解法,逐一用X的子序列和Y对比,则因为X有2^m个子序列,结果必然是指数时间的。
定义前缀 Xi = < x1,x2. xi >。如矩阵连乘一样,定义c[i,j]为序列Xi和Yi的一个LCS的长度。同时建立表b[1..m, 1..n]表示与c相对应的最优解的构造。
考察Xi中的xi和Yj中的yj,若xi = yj,则把问题化为寻找c[i-1,j-1]。若xi != yj,则计算c[i,j-1]和c[i-1,j],因为最小子序列肯定是这两者之一。
c[i,j] = 0, when XM 與 Deriv 交易商比較 i = 0 or j = 0
c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1, when xi = yi
c[i,j] = max( c[i,j-1], c[i-1,j] ), when xi != yi
自底向上计算c表中的每一个值,同时记录相对应的b值。把b表绘制成表格反向回溯就可以得到LCS值。易知,要求所有的c[i,j]需要对i和j进行遍历,时间复杂度是O(m*n)。

贪心算法

背包问题(Knapsack Problems)可以说明贪心算法与动态规划的一些细微差别。假如一个贼在商店中发现n件物品,设第i件价值vi,重wi(vi,wi都是整数)。贼想拿走尽可能值钱的东西,但是他的背包只能装下重为W的东西。他应该带走哪几样?
第一种情况:商店里的物品是不可分的,贼要么把它拿走,要么把他留下。这种情况常被称为0-1问题。
第二种情况:商品可分,窃贼可以选择性地带走商品的一部分。
这两种情况都可以进行子问题的划分。很明显,在第二种情况下使用贪心算法是可以的,先对每件物品计算vi/wi,然后先拿比值最大的物品,拿完之后再拿比值第二大的。这样取满之后拿到的物品就是价值最大化的。因为可以按照vi/wi来排序,所以算法可以以O(n*logn)的时间运行。
但是对情况一,贪心算法是不适用的。举例来说,背包可容纳50磅重的东西。物品1重10磅,价值60元(每磅6元);物品2重20磅,值100元(每磅5元);物品3重30磅,值120元(每磅4元)。按照贪心算法,依次取1和2,得到价值总160元的物品。这时背包还剩20磅可用,却装不下30磅的物品3了,只能作罢。160元显然不是最大的价值。因为如果我们取物品2和3时,能得到总重量50磅,总价值220元的物品。因此,贪心算法给出了错误的优化结果。我们可以用动态规划来解决这种0-1问题。

XM 與 Deriv 交易商比較

Ⅰ.考試要求
1. 正確理解和掌握中學數學的基礎知識、基本技能、基本思想和方法。
2. 熟練運用本大綱規定範圍內的數學知識和方法解法問題(包括簡單的應用問題)。

Ⅱ.考試內容
一、 代數(Algebra)
1. 數(Number)
有理數、無理數和實數,絕對值,復數及其向量(Vector)表示,復數的四則運算。
2. 代數式(Algebraic expression)
整式、分式及其運算,因式分解,根式及其運算,二次根式的有理化。
3. 方程(Equation)
一元二次方程的解法及其應用,一元二次方程的根與系數的關系,二元一次聯立方程組和三元一次聯立方程組的解法。
4. 不等式(Inequality)
不等式及其性質,簡單不等式的證明,一元一次不等式的解法,一元二次不等式的解法。 XM 與 Deriv 交易商比較
5. 集合(Set)
集合,子集,交集,井集,補集。
6. 函數(Function)
函數,函數符號,函數的定義域,函數的增減性、奇偶性,反函數,互為反函數的函數以及它們的圖像間的關係。
7. 一次函數(y=ax+b,a≠0),二次函數(y=ax2+bx+c,a≠0),反比例函數(y=k/x,k≠0)幂函數(y=xa),它們的圖像和性質。
8. 指數函數(y=ax,a>0且a≠1),對數函數(y=logax,a>0且a≠1、以10為底的常用對數記作lg x),它們的圖像和性質,對數換底公式,簡單的指數方程和對數方程的解法。
9. 數列(Sequence):等差數列及其通項公式和前n項之和的公式,等比數列及其通項公式和前n項之和的公式。
10.極限(Limit):數列和函數的極限及其四則運算,公比的絕對值小於1的無窮等比數列的和。
11.加法原理,乘法原理,排列及排列數公式,組合及合數公式。
12.二項式定理,數學歸納法(Mathematical induction)
13.多項式(Polynomial):多項式、餘式定理、因式定理。

二、 三角(Trigonometry)
1. 角的度量和角的孤度制,銳角a的正弦(sin a)、餘弦(cos a )、正切(tan a)和餘切(cot a)的定義。
2. 化任意角三角函數為銳角三角函數的公式(誘導公式),同角三角函數間的關係公式,已知三角函數值求角,正弦函數、餘弦函數、正切函數的圖像和性質。
3. 直角三角形的解決及其應用,正弦定理和餘弦定理以及它們在斜三角形解決中的應用。
4. 兩角和與差的三角函數公式,二倍角的正弦、餘弦和正切公式,半角的正弦、餘弦和正切公式。
5. 反正弦函數、反餘弦函數和反正切函數以及它們的圖像。

三、 立體幾何(Solid geometry)
1. 空間兩條直線的位置關係,平行直線,對應邊分別平行的角,异面直線所成的角。
2. 直線與平面的位置關係,直線和平面平行的判定與性質,直線與平面垂直的判定與性質,斜線在平面上的投影,直線與平面所成的角,如果在平面內的一條直線和這個平面的一條斜線的射影垂直,則它也和這條斜線垂直(稱為三垂線定理)及其逆定理。
3. 兩個平面的位置關係,兩個平面平行的判定和性質,二面角,兩個平面垂直的判定和性質。
4. 正棱柱、正棱錐、正棱臺、圓柱、圓錐和圓臺的體積和側面積,球體的體積和表面積。
5. 正命題、逆命題、否命題和逆否命題間的關係,必要條件和充分條件。

四、 解析幾何(Analytical geometry)
1. 坐標系(Coordinate)
平面直角坐標系,兩點間的距離公式,線段的定比分點分式。
2. 向量(Vector)
向量,有向線段與向量,平面向量的內積。
3. 直線的傾斜角與斜率,直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式方程,兩條直線平行和垂直的條件,兩條直線所成的角,兩條直線的交點,點到直線的距離。
4. 曲線與方程,簡單的軌跡問題。
5. 圓的標準方程和一般方程,橢圓的定義、標準方程、圖形及其性質,雙曲線的定義、標準方程、圖形及其性質,拋物線的定義、標準方程、圖形及其性質。
6. 坐標軸的平移,利用坐標軸平移將缺xy項的二元二次方程化為標準方程。
7. 極坐標系,極坐標與直角坐標的互化。
8. 空間直角坐標系,空間中的直線與平面,平面方程式,空間直線方程式。

五、 微積分(Differential and integral calculus)
1. 連續函數及導數(Derivative)的概念及其幾何意義,幾種常見函數[C,XM 與 Deriv 交易商比較 xm(m為有理數),ex ,ax ,ln x ,logax]的導數,兩個函數的和、差、積、商的導數,復合函數的導數,基本導數公式。
2. 利用導數研究函數的單調性、極值(Extremum)、最大值和最小值.。

六、 概率與統計(Probability and Statistic)
1. 隨機事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式、獨立重復試驗。
2. 抽樣方式(隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣等),總體分布的估計,正態分布及其總體特征數的估計。

Ⅲ.XM 與 Deriv 交易商比較 考試形式及試卷結構
1. 考試時間為120分鐘,滿分150分。
2. 考試採用閉卷筆答方式,用鋼筆或圓珠筆作答,不許用紅色筆述,不許用鉛筆。
3. 文理科考生使用同一份試卷,其中包括對文理科考生要求不同的試題。
4. 考試可使用圓規、直尺等繪圖儀器。
5. 各部分知識內容的比例
代數 約35%
三角 約15%
立體幾何 約10%
解析幾何 約20%
微積分 約10%
概率與統計 約10%
6. 各種題型的比例
試卷包括選擇題、填空題和解答題三種題型。選擇題為四選一型的單項選擇題;填空題只要求直接填寫結果,不要求寫出計算或推證過程;解答題包括計算題、論證題和應用題,解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。試卷三種題型所占分數比例:
選擇題 約35%
填空題 約25%
解答題 約40%

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Ⅰ.考試要求
1. 正確理解和掌握中學數學的基礎知識、基本技能、基本思想和方法。
2. 熟練運用本大綱規定範圍內的數學知識和方法解法問題(包括簡單的應用問題)。

Ⅱ.考試內容
一、 代數(Algebra)
1. 數(Number)
有理數、無理數和實數,絕對值,復數及其向量(Vector)表示,復數的四則運算。
2. 代數式(Algebraic expression)
整式、分式及其運算,因式分解,根式及其運算,二次根式的有理化。
3. 方程(Equation)
一元二次方程的解法及其應用,一元二次方程的根與系數的關系,二元一次聯立方程組和三元一次聯立方程組的解法。
4. 不等式(Inequality)
不等式及其性質,簡單不等式的證明,一元一次不等式的解法,一元二次不等式的解法。
5. 集合(Set)
集合,子集,交集,井集,補集。
6. 函數(Function)
函數,函數符號,函數的定義域,函數的增減性、奇偶性,反函數,互為反函數的函數以及它們的圖像間的關係。
7. 一次函數(y=ax+b,a≠0),二次函數(y=ax2+bx+c,a≠0),反比例函數(y=k/x,k≠0)幂函數(y=xa),它們的圖像和性質。
8. 指數函數(y=ax,a>0且a≠1),對數函數(y=logax,a>0且a≠1、以10為底的常用對數記作lg x),它們的圖像和性質,對數換底公式,簡單的指數方程和對數方程的解法。
9. 數列(Sequence):等差數列及其通項公式和前n項之和的公式,等比數列及其通項公式和前n項之和的公式。
10.極限(Limit):數列和函數的極限及其四則運算,公比的絕對值小於1的無窮等比數列的和。
11.加法原理,乘法原理,排列及排列數公式,組合及合數公式。
12.二項式定理,數學歸納法(Mathematical XM 與 Deriv 交易商比較 induction)
13.多項式(Polynomial):多項式、餘式定理、因式定理。

二、 三角(Trigonometry)
1. 角的度量和角的孤度制,銳角a的正弦(sin a)、餘弦(cos a )、正切(tan a)和餘切(cot a)的定義。
2. 化任意角三角函數為銳角三角函數的公式(誘導公式),同角三角函數間的關係公式,已知三角函數值求角,正弦函數、餘弦函數、正切函數的圖像和性質。
3. 直角三角形的解決及其應用,正弦定理和餘弦定理以及它們在斜三角形解決中的應用。
4. 兩角和與差的三角函數公式,二倍角的正弦、餘弦和正切公式,半角的正弦、餘弦和正切公式。
5. 反正弦函數、反餘弦函數和反正切函數以及它們的圖像。

三、 立體幾何(Solid geometry)
1. 空間兩條直線的位置關係,平行直線,對應邊分別平行的角,异面直線所成的角。
2. 直線與平面的位置關係,直線和平面平行的判定與性質,直線與平面垂直的判定與性質,斜線在平面上的投影,直線與平面所成的角,如果在平面內的一條直線和這個平面的一條斜線的射影垂直,則它也和這條斜線垂直(稱為三垂線定理)及其逆定理。
3. 兩個平面的位置關係,兩個平面平行的判定和性質,二面角,兩個平面垂直的判定和性質。
4. 正棱柱、正棱錐、正棱臺、圓柱、圓錐和圓臺的體積和側面積,球體的體積和表面積。
5. 正命題、逆命題、否命題和逆否命題間的關係,必要條件和充分條件。

四、 XM 與 Deriv 交易商比較 解析幾何(Analytical geometry)
1. 坐標系(Coordinate)
平面直角坐標系,兩點間的距離公式,線段的定比分點分式。
2. 向量(Vector)
向量,有向線段與向量,平面向量的內積。
3. 直線的傾斜角與斜率,直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式方程,兩條直線平行和垂直的條件,兩條直線所成的角,兩條直線的交點,點到直線的距離。
4. 曲線與方程,簡單的軌跡問題。
5. 圓的標準方程和一般方程,橢圓的定義、標準方程、圖形及其性質,雙曲線的定義、標準方程、圖形及其性質,拋物線的定義、標準方程、圖形及其性質。
6. 坐標軸的平移,利用坐標軸平移將缺xy項的二元二次方程化為標準方程。
7. 極坐標系,極坐標與直角坐標的互化。
8. 空間直角坐標系,空間中的直線與平面,平面方程式,空間直線方程式。

五、 微積分(Differential and integral calculus)
1. 連續函數及導數(Derivative)的概念及其幾何意義,幾種常見函數[C,xm(m為有理數),ex ,ax ,ln x ,logax]的導數,兩個函數的和、差、積、商的導數,復合函數的導數,基本導數公式。
2. 利用導數研究函數的單調性、極值(Extremum)、最大值和最小值.。

六、 概率與統計(Probability and Statistic)
1. 隨機事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式、獨立重復試驗。
2. 抽樣方式(隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣等),總體分布的估計,正態分布及其總體特征數的估計。

Ⅲ.考試形式及試卷結構
1. 考試時間為120分鐘,滿分150分。
2. 考試採用閉卷筆答方式,用鋼筆或圓珠筆作答,不許用紅色筆述,不許用鉛筆。
3. 文理科考生使用同一份試卷,其中包括對文理科考生要求不同的試題。
4. 考試可使用圓規、直尺等繪圖儀器。
5. 各部分知識內容的比例
代數 約35%
三角 約15%
立體幾何 約10%
解析幾何 約20%
微積分 約10%
概率與統計 約10%
6. 各種題型的比例
試卷包括選擇題、填空題和解答題三種題型。選擇題為四選一型的單項選擇題;填空題只要求直接填寫結果,不要求寫出計算或推證過程;解答題包括計算題、論證題和應用題,解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。試卷三種題型所占分數比例:
選擇題 約35%
填空題 約25%
解答題 約40%

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